【二项分布超几何分布的均值和方差公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布和超几何分布是两种常见的离散型概率分布。它们分别用于描述独立重复试验和不放回抽样的情况。下面我们将对这两种分布的均值和方差公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、二项分布（Binomial Distribution）
定义：二项分布在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，表示成功次数X的概率分布。
- 参数：
- n：试验次数
- p：每次试验成功的概率
- 均值（期望）：
$$
E(X) = np
$$
- 方差：
$$
Var(X) = np(1-p)
$$
二、超几何分布（Hypergeometric Distribution）
定义：超几何分布在有限总体中不放回抽样时，成功次数X的概率分布。通常用于从一个包含成功项和失败项的总体中抽取样本的情况。
- 参数：
- N：总体数量
- K：总体中成功项的数量
- n：抽取样本的数量
- 均值（期望）：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
- 方差：
$$
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
三、对比总结表
| 分布类型 | 均值（期望） | 方差 |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 超几何分布 | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
四、小结
二项分布适用于独立重复试验，而超几何分布则适用于不放回抽样。两者的均值计算方式类似，但超几何分布的方差额外考虑了有限总体的影响，因此其方差通常小于对应的二项分布。
理解这两个分布的均值和方差有助于我们在实际问题中更好地进行概率分析与统计推断。