【几何平均数公式和定义】几何平均数是统计学中一种重要的平均数计算方法，常用于计算比率、增长率或变化率等数据的平均值。与算术平均数不同，几何平均数在处理乘积关系的数据时更具代表性，尤其适用于连续复利、投资回报率等场景。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得到的结果。它主要用于衡量数据之间的相对变化，尤其是在数据呈现指数增长或下降趋势时更为适用。
公式如下：
$$
\text{几何平均数} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
其中：
- $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 是一组正数；
- $ n $ 是数据的个数。
二、几何平均数的特点
| 特点 | 描述 |
| 适用于乘积关系的数据 | 如增长率、利率、收益率等 |
| 对极端值敏感 | 较大的数值会显著影响结果 |
| 不适用于负数或零 | 因为负数相乘可能产生虚数，零会导致结果为零 |
| 更能反映长期趋势 | 在经济、金融等领域有广泛应用 |
三、几何平均数与算术平均数的区别
| 比较项 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 计算方式 | 相乘后开n次方 | 相加后除以n |
| 适用场景 | 增长率、收益率等 | 平均值、基本统计数据 |
| 对极端值的敏感度 | 高 | 低 |
| 结果范围 | 小于或等于算术平均数 | 可大可小 |
四、几何平均数的计算示例
假设某公司三年的年增长率分别为：10%、20%、30%，求这三年的平均增长率。
步骤：
1. 将百分比转换为小数：1.10、1.20、1.30
2. 计算乘积：$ 1.10 \times 1.20 \times 1.30 = 1.716 $
3. 开三次方：$ \sqrt[3]{1.716} \approx 1.20 $
结果：
三年的平均增长率为 20%。
五、几何平均数的应用场景
| 应用领域 | 说明 |
| 金融投资 | 计算投资组合的平均回报率 |
| 经济学 | 分析经济增长率、通货膨胀率等 |
| 生物学 | 研究种群增长、细胞分裂等 |
| 统计分析 | 用于数据标准化、指标比较等 |
六、总结
几何平均数是一种基于乘积关系的平均数计算方法，特别适合用于描述具有连续增长或变化趋势的数据。相比算术平均数，它更能反映数据的长期趋势和实际变化情况。在实际应用中，应根据数据类型和分析目的选择合适的平均数计算方式。