【常用转动惯量公式】在物理学中，转动惯量是描述物体绕某一轴旋转时其惯性大小的物理量。它类似于质量在平动中的作用，但与物体的质量分布和转轴位置密切相关。不同形状的物体，其转动惯量计算公式各不相同。以下是对常见物体转动惯量公式的总结。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 $ I $ 表示，单位为 $ \text{kg} \cdot \text{m}^2 $。对于刚体来说，转动惯量的计算公式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是物体上某一点的质量，$ r_i $ 是该点到转轴的距离。
当物体连续分布时，公式变为积分形式：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常用物体的转动惯量公式
以下是一些常见几何形状的刚体，其对通过质心的轴的转动惯量公式如下：
| 物体类型 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 细杆（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{12} m l^2 $ | $ l $ 为杆长，轴通过中心且垂直于杆 |
| 细杆（绕端点） | $ I = \frac{1}{3} m l^2 $ | 轴通过一端且垂直于杆 |
| 圆环（绕中心轴） | $ I = m R^2 $ | $ R $ 为环半径，轴垂直于环面 |
| 实心圆盘（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | 轴垂直于盘面 |
| 空心圆柱（绕中心轴） | $ I = m R^2 $ | 轴沿轴线方向 |
| 实心球（绕过球心的轴） | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | $ R $ 为球半径 |
| 空心球（薄壳） | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | 壁厚可忽略 |
| 长方体（绕通过质心的轴） | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | $ a, b $ 为边长，轴垂直于面 |
三、注意事项
- 转动惯量与转轴的位置密切相关，同一物体对不同轴的转动惯量可能不同。
- 如果物体的形状复杂或质量分布不均匀，通常需要使用积分方法计算。
- 平行轴定理：若已知物体对通过质心的轴的转动惯量 $ I_{\text{cm}} $，则对距离为 $ d $ 的另一平行轴的转动惯量为：
$$
I = I_{\text{cm}} + m d^2
$$
四、应用举例
例如，一个质量为 $ m $、长度为 $ l $ 的细杆，若绕其一端旋转，则其转动惯量为：
$$
I = \frac{1}{3} m l^2
$$
而如果绕其中心旋转，则为：
$$
I = \frac{1}{12} m l^2
$$
由此可见，转轴位置对转动惯量影响显著。
通过掌握这些常见物体的转动惯量公式，可以更方便地分析和解决涉及旋转运动的问题，如机械系统设计、天体运动分析等。