【二项分布公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在固定次数的独立试验中，成功次数的概率分布。它适用于每次试验只有两种可能结果（即“成功”或“失败”）的情况。
一、二项分布的基本概念
- 试验次数（n）：总共进行的独立试验次数。
- 单次试验的成功概率（p）：每次试验成功的概率。
- 随机变量（X）：表示在n次试验中成功的次数。
- 二项分布记号：X ~ B(n, p)
二、二项分布的公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个不同元素中取出k个的方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
- $ p $ 是每次试验成功的概率；
- $ 1 - p $ 是每次试验失败的概率；
- $ k $ 是成功的次数，取值范围为 $ 0 \leq k \leq n $。
三、二项分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 期望值（均值） | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{np(1 - p)} $ |
| 概率分布类型 | 离散型 |
| 适用条件 | 试验独立、结果互斥、每次试验成功率相同 |
四、二项分布的应用场景
- 投掷硬币多次，正面朝上的次数；
- 产品合格率检测；
- 医疗试验中治疗有效的患者人数；
- 问卷调查中同意某观点的人数等。
五、二项分布的示例表格
| 成功次数 (k) | 概率 P(X=k) | 计算表达式 |
| 0 | $ C(5, 0) \cdot p^0 \cdot (1-p)^5 $ | $ 1 \cdot 1 \cdot (1-p)^5 $ |
| 1 | $ C(5, 1) \cdot p^1 \cdot (1-p)^4 $ | $ 5 \cdot p \cdot (1-p)^4 $ |
| 2 | $ C(5, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^3 $ | $ 10 \cdot p^2 \cdot (1-p)^3 $ |
| 3 | $ C(5, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^2 $ | $ 10 \cdot p^3 \cdot (1-p)^2 $ |
| 4 | $ C(5, 4) \cdot p^4 \cdot (1-p)^1 $ | $ 5 \cdot p^4 \cdot (1-p) $ |
| 5 | $ C(5, 5) \cdot p^5 \cdot (1-p)^0 $ | $ 1 \cdot p^5 \cdot 1 $ |
六、总结
二项分布是统计学中非常基础且实用的模型，广泛应用于各种实际问题中。理解其公式和性质有助于更好地分析和预测随机事件的发生概率。通过合理的参数设定（如n和p），可以对实验结果进行科学评估和决策支持。